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好消息?数学家重新采用被抛弃解黎曼假设的方法!

时间:2019-07-28
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  在过去的150年里,人们提出了许多方法来研究黎曼假(黎曼猜想),但没有办法解决数学中最着名的开放问题。在《美国国家科学院院刊》(PNAS)上发表的一篇新论文表明,这些旧方法中的一种比以前认识的更实用。

埃默里大学的数字理论家和论文合着者肯诺说:令人惊讶的是,在一个简短的证据中,我们已经证明黎曼假设是一个古老的假设,放弃的方法不应该被遗忘。

通过简单地为旧方法构建一个合适的框架,已经证明了一些新的定理,包括黎曼假设标准的很大一部分,整体框架为其他根本未解决的问题开辟了道路。本文基于John Jensen和George Poly对20世纪最重要的两位数学家的研究。它揭示了一种计算简森多项式(黎曼假设的公式)的方法,不是一次一个,而是一次一个。证据的美妙之处在于它很简单,没有发明任何新技术,也没有在数学中使用任何新的对象,但为黎曼假设提供了新的视角。任何相当高级的数学家都可以测试证明,这不需要数论专家。

虽然本文没有证明黎曼假设,但其结果包括先前公布的黎曼假设的结论,以及其他猜想领域的一些证明。本研究论文的共同作者是迈克尔格里芬和拉里罗兰,他是Onyre大学的前研究生,现在在杨百翰大学和范德比尔特大学任教,并在数学研究所担任Max Plander Don Zagir。斯坦福大学的数学家和黎曼假设专家Kannan Soundararajan说:这里建立的结果可能被视为提供黎曼假设的进一步证据,无论如何,它是一个美丽的独立定理。

这篇研究论文的灵感来自埃默里大学数学家Ono Ken(左)为庆祝Zagir 65岁生日的“礼物”和Max Planck数学研究所的Don EmoryUniversity

两年前,在庆祝扎吉尔65岁生日的数学会议开始之前,小野给了扎吉尔一个“玩具问题”,作为招待扎吉尔的“礼物”。 “玩具问题”是数学家的缩影版,试图解决更大,更复杂的问题。 Zagir描述了Ono给他的问题“关于欧拉函数 - 部分多项式的渐近行为的一个可爱问题。这是我与Ken和几乎所有经典编号的旧爱好.Ono表示很难找到这个问题。解决了,我我真的没想到Tang有任何进步,但他认为挑战非常有趣,他很快就提出了解决方案。

直觉是这种解决方案可以被设计成更一般的理论,这是数学家最终实现的。格里芬说:这是一个有趣的项目,一个真正的创造性过程。研究阶段的数学往往更像是艺术,而不是计算,这在这里是肯定的。这要求我们以新的方式看待Jensen和Polya近100年的历史。黎曼假设是七千年谜题之一,由克莱数学研究所确定为数学中最重要的开放性问题,每个问题解决者将获得100万美元的奖金。

1859年,德国数学家Bernhard Riemann首先在一篇论文中提出了这一假设。他注意到素数的分布与分析函数的零密切相关,后来被称为Riemannzeta函数。假设有点满口,但黎曼的动机很简单,他想要计算素数。这个假设是理解数论中最大的谜团之一的工具 - 素数背后的模型。虽然素数是在小学数学中定义的简单对象(任何大于1的数字,除了1并且本身没有正除数),它们的分布仍然是隐藏的。第一个素数2是唯一的偶数。

下一个素数是3,但素数不符合每三个数的定律。接下来是5711.随着你的数量不断增加,素数很快变得不那么频繁了。众所周知,有无数的素数,但它们越来越少。即使它是100.事实上,在前100,000名数字中,只有9592是素数,占9.5%。从那时起,他们很快就变得稀缺。随机取数并使其成为素数的概率为零,这几乎从未发生过。 1927年,Jensen和Polya为黎曼假设的验证设定了一个标准,作为释放黎曼假设以澄清素数和其他数学奥秘潜力的一个步骤。建立简森多项式双曲性准则的问题在于它是无穷大的。在过去的90年中,在序列中只验证了几个多项式。

这使得数学家放弃了这种方法,因为它太慢而且笨拙。在PNAS论文中,作者设计了一个概念框架,将多项式结合到一定程度。这种方法允许他们确定100%的每个学位的标准,使一些先前已知的情况黯然失色。这种方法具有令人震惊的普遍性,因为它适用于看似无关的问题,其证据易于理解。数学中一些最精彩的见解需要很长时间才能实现,但一旦你看到它们,它们就会变得简单明了。虽然这些发现并不排除黎曼假设错误的可能性,但作者认为,这个着名猜想的完整证据仍然存在。

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